题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
平行,求
与
满足的关系;
(2)当时,讨论
的单调性;
(3)当时,对任意的
,总有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)①当
时,
在
上单调递增;②当
时,
在
和
上单调递增;在
上单调递减;当
时,函数
在
和
上单调递增;在
上单调递减;(3)
.
【解析】
(1)求出,由函数
在点
处的切线与
平行,得
,从而可得结果;(2)求出
,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)当
时,
,
对任意的
恒成立等价于
在
恒成立. 设
,两次求导,可得
,从而可得结果.
(1)由题意,得.
由函数在点
处的切线与
平行,得
.
即.
(2)当时,
,
由知
.
①当时,
,
在
恒成立,
函数
在
上单调递增.
②当时,由
,解得
或
;
由,解得
.
函数在
和
上单调递增;在
上单调递减.
③当时,
,解得
或
;
由,解得
.
函数在
和
上单调递增;在
上单调递减.
(3)当时,
,
由,得
对任意的
恒成立.
,
,
在
恒成立.
设,则
,
令,则
,
由,解得
.
由,解得
;
由,解得
.
导函数
在区间
单增;在区间
单减,
,
在
上单调递减,
,
.
故所求实数的取值范围
.
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