题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数在处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)当时,设函数.证明:对于任意的,函数有且只有一个零点.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见证明
【解析】
(I)求得切点坐标和斜率,由此求得切线方程.(II)将原不等式分离常数,得到恒成立,构造函数,利用导数求得函数的最大值,由此求得的取值范围.(III)先求得的表达式,然后利用导数证得在上有一个零点.再利用导数证得在上没有零点,由此得证.
解:(Ⅰ)已知函数,
可得,且,
函数在处的切线方程为.
(Ⅱ)对任意恒成立,所以.
令,则
令,解得.
当时时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
所以,
所以,即,所以的取值范围为.
(Ⅲ)证明:由已知,则.且可知.
当时,,单调递增,,,所以在有唯一实根.
当时,令,则.,在单调递减;在单调递增.所以.所以在没有实根.
综上,对于任意的,函数有且只有一个零点.
练习册系列答案
相关题目