题目内容

【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数处的切线方程;

(Ⅱ)若对任意的恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)当时,设函数.证明:对于任意的,函数有且只有一个零点.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见证明

【解析】

I)求得切点坐标和斜率,由此求得切线方程.II)将原不等式分离常数,得到恒成立,构造函数,利用导数求得函数的最大值,由此求得的取值范围.III)先求得的表达式,然后利用导数证得上有一个零点.再利用导数证得上没有零点,由此得证.

解:(Ⅰ)已知函数

可得,且

函数处的切线方程为.

(Ⅱ)对任意恒成立,所以.

,则

,解得.

当时时,,所以上单调递增;

时,,所以上单调递减.

所以

所以,即,所以的取值范围为.

(Ⅲ)证明:由已知,则.且可知.

时,单调递增,,所以有唯一实根.

时,令,则.单调递减;在单调递增.所以.所以没有实根.

综上,对于任意的,函数有且只有一个零点.

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