Question

【题目】已知数列满足，，其前n项和，则下列说法正确的个数是（ ）

①数列是等差数列；②；③.

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

由a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1，可得a2，a3，a4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可判断③．

解：数列{an}满足a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1，

可得a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1，

a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3，

a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9，

则a4﹣a3＝6，a3﹣a2＝2，即有a4﹣a3≠a3﹣a2，

则数列{an}不是等差数列，故①不正确；

an＝3n﹣2，不满足a1＝﹣1，故②不正确；

若Sn满足n＝1时，a1＝S1＝﹣1，

但n＝2时，a2＝S2﹣S1（﹣1）＝1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1

＝3n﹣2，n≥2，n∈N*．

代入an+1＝|1﹣an|+2an+1，

左边＝3n﹣1，右边＝3n﹣2﹣1+23n﹣2+1＝3n﹣1，

则an+1＝|1﹣an|+2an+1恒成立．

故③正确．

故选：B．