题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数与
的图象上存在关于原点对称的点,求实数
的取值范围;
(2)设,已知
在
上存在两个极值点
,且
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)函数关于原点对称的函数解析式为
.函数
与
的图象上存在关于原点对称的点,等价于方程
在
有解.
即,
,令
,
,利用导数研究函数的单调性极值即可得出.
等价于
等价于
,
,
,
,再利用导数研究函数的单调性、极值,利用分析法即可得证.
(1)函数与
的图像上存在关于原点对称的点,
即的图像与函数
的图像有交点,
即在
上有解.
即在
上有解.
设,(
),则
当时,
为减函数;当
时,
为增函数,
所以,即
.
(2),
在
上存在两个极值点
,
,且
,
所以
因为且
,所以
,
即
设,则
要证,即证
,
只需证,即证
设,
,
则在
上单调递增,
,
即
所以,即
.
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