Question

6．设函数f（x）=$\frac{2+lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）如果对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），有|{f（x₁）-f（x₂）|≥k|${\frac{1}{x_1}$-$\frac{1}{x_2}}$|成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，从而可求实数a的值及f（x）的极值；
（2）根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．

解答 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$=0，
∴x=$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）单调递减，
故f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极大值e，无极小值；
（2）由（1）的结论知，f（x）在[1，+∞）上单调递减，不妨设x₁≥x₂≥1，
则|f（x₁）-f（x₂）|≥k|${\frac{1}{x_1}$-$\frac{1}{x_2}}$|，f（x₂）-f（x₁）≥k（$\frac{1}{x_2}}$-${\frac{1}{x_1}$），
?f（x₂）-k•$\frac{1}{x_2}}$≥f（x₁）-k•${\frac{1}{x_1}$，
?函数F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$=$\frac{2-k+lnx}{x}$在[1，+∞）上单调递减，
则F′（x）=$\frac{k-1-lnx}{{x}^{2}}$≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴k≤1+lnx在[1，+∞）上恒成立，
在[1，+∞）上，（1+lnx）_min=1，
故k≤1，
∴实数k的最大值为1．

点评 本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，函数极值，最值，正确求出导数是解决本题的关键．