Question

18．已知函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1）
（1）判断f（x）的单调性；
（2）已知p：不等式f（x）≤2b对任意x∈[-1，1]恒成立，q：函数g（x）=x²+（2b+1）x-b-1的两个两点分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，如果p∨q为真，p∧q为假，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的单调性以及复合函数单调性之间的关系即可判断f（x）的单调性；
（2）分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）若a＞1，则a²-1＞0，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，函数y=a^x-a^-x为增函数，此时f（x）为增函数；
若0＜a＜1，则a²-1＜0，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，函数y=a^x-a^-x为减函数，此时f（x）为增函数；
综上函数f（x）为增函数．
（2）∵不等式f（x）≤2b对任意x∈[-1，1]恒成立，
∴f（x）_max≤2b对任意x∈[-1，1]恒成立，
∵函数f（x）在[-1，1]为增函数．
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a-a^-1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$$•\frac{{a}^{2}-1}{a}$=1，
∴2b≥1，即b≥$\frac{1}{2}$，则p：b≥$\frac{1}{2}$．
若函数g（x）=x²+（2b+1）x-b-1的两个零点分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（-2）＜0}\\{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）=5-7b＞0}\\{g（-2）=1-5b＜0}\\{g（0）=-b-1＜0}\\{g（1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b＜\frac{5}{7}}\\{b＞\frac{1}{5}}\\{b＞-1}\\{b＞-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{5}{7}$，
如果p∨q为真，p∧q为假，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{1}{2}}\\{b≥\frac{5}{7}或b≤\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，解得b≥$\frac{5}{7}$，
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}{b＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{5}＜b＜\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$，
综上$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$或b≥$\frac{5}{7}$，
即实数b的取值范围是$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$或b≥$\frac{5}{7}$．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及复合命题之间的关系，考查学生的计算能力．