Question

8．△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）．
（1）求C的值；
（2）若a+b=4，求周长的范围与面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，特殊角的三角函数值，可得角C；
（2）运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，可得最大值．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$absinC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
即a²+b²-c²=2abcosC，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）变形得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2abcosC，
整理得：tanC=$\sqrt{3}$，
又0＜C＜π，
则C=$\frac{π}{3}$；
（2）a²+b²-c²=2abcosC，可得c²=（a+b）²-3ab=16-3ab，
由a+b=4≥2$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b取等号），
即有0＜ab≤4，
则c∈[2，4），
则周长的范围是[6，8）；
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，
当且仅当a=b=2，取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理和面积公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．