Question

7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x²=16y的准线交于A，B两点，|AB|=4$\sqrt{2}$，则C的方程为y²-x²=8．

Answer 1

分析 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4$\sqrt{2}$，即可求得结论．

解答 解：设等轴双曲线C的方程为y²-x²=λ（λ＞0）（1）
∵抛物线x²=16y，2p=16，p=8，
∴$\frac{p}{2}$=4．
∴抛物线的准线方程为y=-4．
设等轴双曲线与抛物线的准线y=-4的两个交点A（x，-4），B（-x，-4）（x＞0），
则|AB|=|x-（-x）|=2x=4$\sqrt{2}$，
∴x=2$\sqrt{2}$．
将y=-4，x=2$\sqrt{2}$代入（1），得（-4）²-（2$\sqrt{2}$）²=λ，
∴λ=8，
∴等轴双曲线C的方程为y²-x²=8，
故答案为：y²-x²=8．

点评 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．