题目内容
3.已知椭圆过点A(5,4),离心率e=$\frac{3}{5}$,求椭圆的标准方程.分析 由于椭圆的焦点位置未定,故需要进行分类讨论,进而可求椭圆的标准方程.
解答 解:当椭圆的焦点在x轴上时,∵椭圆过点A(5,4),离心率e=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{25}{{a}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1$,$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$,
∵c2=a2-b2.
∴a2=50,b2=32,
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1.
当椭圆的焦点在y轴上时,∵椭圆过点A(5,4),离心率e=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{25}{{b}^{2}}$=1,$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$,
∵c2=a2-b2.
∴a2=$\frac{881}{16}$,b2=$\frac{881}{25}$,
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1.
综上知,所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1,或$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1.
点评 本题重点考查椭圆的标准方程,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
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