题目内容
【题目】设直线
与直线
分别与椭圆
交于点
，且四边形
的面积为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆上一点
作椭圆的切线
，设直线与椭圆
相较于
，
两点，
为坐标原点，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
联立直线AB与椭圆
的方程，解出x与y，由椭圆的对称性可知四边形ACBD为矩形，进而表示出矩形ACBD的面积为
，从而得解；
分类讨论，当直线l的斜率不存在，此时点P为椭圆的左或右顶点，易求得
和
，所以
；
当直线l的斜率存在，设其方程为
，点P的坐标为
，M、N的坐标分别为
，
，两次联立直线与椭圆，分别可得到关于x的一元二次方程，结合直线l与椭圆相切，可得
及
，结合弦长公式，可得
，然后作比，即可求得取值范围．
由
，解得
，
，
由椭圆的对称性可知，四边形ACBD为矩形，且其面积
，
，
故椭圆的方程为
．
当直线l的斜率不存在时，点P为椭圆的左或右顶点，其坐标为
，
不妨取左顶点，即
，此时，且直线l与x轴垂直，将
代入
得，
，
，
所以；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，点P的坐标为，M、N的坐标分别为，，
联立
，得
，
直线l与椭圆相切，
，
化简整理得，，
由韦达定理知，
，
，
联立
，得
，
由韦达定理知，
，
，
，当且仅当
时，等号成立，
综上所述，
的取值范围为
．
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【题目】随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门渐渐成为中国人的新习惯．在调查“现金支付，银联卡支付，手机支付”三种支付方式中“最常用的支付方式”这个问题时，在中国某地，从20岁到40岁人群中随机抽取55人，从40岁到60岁人群随机抽取45人，进行答题．20岁到40岁人群的支付情况是选择现金支付的占
、银联卡支付的占、手机支付的占
．40岁到60岁人群的支付情况是：现金支付的占
、银联卡支付的占
、手机支付的占
．
（1）请根据以上调查结果将下面
列联表补充完整；并判断至多有多少把握认为支付方式与年龄有关；
手机支付 | 其他支付方式 | 合计 | |
20岁到40岁 | |||
40岁到60岁 | |||
合计 |
（2）商家为了鼓励使用手机支付规定手机支付打9折，其他支付方式不打折．现有一物品售价100元，以样本中支付方式的频率估计一件产品支付方式的概率，假设购买每件物品的支付方式相互独立．求4件此种物品销售额的数学期望．
附：
，其中
．
| 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.01 |
| 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.636 |
