题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若恒成立,求
的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)先对求导,再求得
,即为切线斜率,进而可求得切线方程;
(2)设,求导可得
,通过讨论
的范围,问题转化为
恒成立,得到
,令
,
,根据函数的单调性求出
的最大值即可.
解:(1)因为,所以
,
又,所以该切线方程为
(2)设,则
恒成立,
易得,
(i)当时,
,此时
在
上单调递增,
①若,则当
时满足
恒成立,
此时;
②若,取
且
,
此时,所以
不恒成立,不满足条件.
(ii)当时,
令,得
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
要使恒成立,必须有当
时,
恒成立,
所以,
故,
令,
,则
,
令,得
,
当时,得
;当
时,得
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
所以当时,
的值最大,
,
从而,当,
时,
的值最大为
,
综上,的最大值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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