题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C的离心率为 ,
∴ =
,a2=2b2 ,
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ,
∴椭圆C过点( ,1),
∴ +
=1,
∴b2=2,a2=4,
∴椭圆C的方程为 +
=1.
(Ⅱ)设A,B的横坐标为x1 , x2 ,
则A(x1 , kx1+m),B(x2 , kx2+m),D( ,
+m),
联立 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,
∴D(﹣ ,
),
∵M(0,m),则N(0,﹣m),
∴⊙N的半径为|m|,
|DN|= =
,
设∠EDF=α,
∴sin =
=
=
=
,
令y= ,则y′=
,
当k=0时,sin 取得最小值,最小值为
.
∴∠EDF的最小值是60°.
【解析】(Ⅰ)首先根据题中信息可得椭圆C过点( ,1),然后结合离心率可得椭圆方程;(Ⅱ)可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值,结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径,进而将DN长度表示出来,可求∠EDF最小值.
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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