题目内容
【题目】如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
【答案】见解析
【解析】
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
求出平面B1EF的法向量为n,平面BDD1B1的一个法向量为,利用空间向量的数量积证明
n⊥,即可.
证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
由题意知:D(0,0,0),B1(2,2
,4),E(2
,0),F(
,2
,0),
因此=(0,-
,-4),
=(-
,
,0).
设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则n·=-
y-4z=0,n·
=-
x+
y=0.
解得x=y,z=-y,令y=1得n=
,
又因为平面BDD1B1的一个法向量为=(-2
,2
,0),而n·
=1×(-2
)+1×2
×0=0,
即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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