Question

2．函数f（x）=sinx+x³．数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²+qn，p，q为常数，且a_n∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），若f（a₁₀）＜0，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉）取值（　　）

• A． 恒为正数
• B． 恒为负数
• C． 恒为零
• D． 可正可负

Answer 1

分析 运用奇偶性的定义，判断f（x）为奇函数，再由导数判断f（x）递增，判断数列为等差数列，由等差数列的性质和函数的单调性和奇偶性，结合倒序求和，即可判断所求取值符号．

解答 解：由f（x）=sinx+x³．可得
f（-x）=sin（-x）+（-x）³=-（sinx+x³）=-f（x），
则f（x）为奇函数，且f（0）=0，
由f（x）的导数为cosx+3x²＞0在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即有f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）递增，
数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²+qn，则a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-p（n-1）²-q（n-1）=2pn+q-p，
n=1时，a₁=S₁=q+p，则数列{a_n}为等差数列，
即有a₁+a₁₉=a₂+a₁₈=…=2a₁₀，
由f（a₁₀）＜0=f（0），可得a₁₀＜0，
则a₁＜-a₁₉，a₂＜-a₁₈，…，a₁₁＜-a₉，
即有f（a₁）＜f（-a₁₉）=-f（a₁₉）
即为f（a₁）+f（a₁₉）＜0，
同理可得f（a₂）+f（a₁₈）＜0，
…，f（a₁₁）+f（a₉）＜0，
设S=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉），
S=f（a₁₉）+f（a₁₈）+…+f（a₂）+f（a₁），
则2S=[f（a₁）+f（a₁₉）]+[f（a₂）+f（a₁₈）]+…+[f（a₁₉）+f（a₁）]＜0，
即有S＜0．
故选B．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查等差数列的通项和求和公式，同时考查倒序求和的方法，考查推理能力，属于中档题．