题目内容

12.已知圆F1:(x+$\sqrt{3}$)2+y2=16,定点F2($\sqrt{3}$,0),动l圆M过点F2,且与圆F1相内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹方程;
(2)若O为坐标原点,A、B、C是轨迹M上的三个点,当点B不落在坐标轴上时,试判断四边形OABC是否可能为菱形,井说明理由.

分析 (1)设出M的半径,依据题意列出关系MF1+MF2=4,可求轨迹C的方程.
(2)若四边形OABC为菱形,根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解,算出A、C的横坐标满足$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r2-1,从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论,即可得到当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形.

解答 解:(1)设圆M的半径为r.
因为圆过点F2,且与圆F1相内切,所以MF2=r,
所以MF1=4-MF2,即:MF1+MF2=4,
所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,
其中2a=4,c=$\sqrt{3}$,所以a=2,b=1,
所以曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)∵四边形OABC为菱形,∴|OA|=|OC|,
设|OA|=|OC|=r(r>1),得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的公共点,解之得$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r2-1
设A、C两点横坐标分别为x1、x2,可得A、C两点的横坐标满足:
x1=x2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$,或x1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x2=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$,
①当x1=x2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$时,可得若四边形OABC为菱形,则B点必定是右顶点(2,0);
②若x1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x2=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$,则x1+x2=0,
可得AC的中点必定是原点O,因此A、O、C共线,可得不存在满足条件的菱形OABC,
综上所述,可得当点B不落在坐标轴上时,四边形OABC不可能为菱形.

点评 本题考查圆与圆的位置关系,考查转化思想,椭圆的定义,考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

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