Question

17．已知a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥x₁x₂．

Answer 1

分析 通过乘积展开，利用基本不等式变形、整理即得结论．

解答 证明：依题意，（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）
=（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）
=（a²+b²）x₁x₂+ab（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）
≥（a²+b²）x₁x₂+2abx₁x₂
=$（a\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}+b\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{2}$
=（a+b）²x₁x₂
=x₁x₂．

点评 本题考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，注意解题方法的积累，属于基础题．