Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有以下四个命题：
（1）若A-C=90°，a+c=$\sqrt{2}$b，则C=$\frac{π}{12}$；
（2）若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，则△ABC不一定为正三角形；
（3）若A=80°，a²=b（b+c），则C=60°或50°；
（4）若A-B=90°，则$\frac{2}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{（a+b）^{2}}$+$\frac{1}{（a-b）^{2}}$．
其中正确命题的个数为（1）（4）．

Answer 1

分析 对四个选项，分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：（1）∵a+c=$\sqrt{2}$b，∴sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB，∵A-C=90°，∴A=C+90°，
∴sin（C+90°）+sinC=$\sqrt{2}$sin（90°-2C），
∴cosC+sinC=$\sqrt{2}$sin（90°-2C），
∴$\sqrt{2}$sin（C+45°）=$\sqrt{2}$sin（90°-2C），
∴C+45°=90°-2C，或C+45°+90°-2C=180°，
∴C=15°或C=-45°（舍），故正确；
（2）$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，∴A=B=C，∴△ABC为正三角形，故不正确；
（3）∵a²=b（b+c），∴a²=b²+bc，而a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴sin²A=sin²B+sinBsinC，
整理得sin（A+B）sin（A-B）=sinBsinC，而A+B+C=180°，A+B=180°-C，sin（A+B）=sinC，
∴sin（A-B）=sinB，∴A-B=B，∴A=2B，
∵A=80°∴B=40°∴C=180°-80°-40°=60°，故不正确；
（4）sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=$\sqrt{2}$sin$\frac{A+B}{2}$，sinA-sinB=2cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$=$\sqrt{2}$cos$\frac{A+B}{2}$
$\frac{1}{（a+b）^{2}}$+$\frac{1}{（a-b）^{2}}$=$\frac{2}{4{R}^{2}si{n}^{2}（A+B）}$=$\frac{2}{{c}^{2}}$，∴$\frac{2}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{（a+b）^{2}}$+$\frac{1}{（a-b）^{2}}$，正确，
故答案为：（1）（4）

点评 本题考查正弦定理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．