Question

12．已知f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），a∈R，讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 求导数，由此进行分类讨论确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数．

解答 解：∵f（x）=ln（x+1）+a（x²-x）（x＞-1），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+a（2x-1）=$\frac{1}{x+1}$（2ax²+ax+1-a），
令g（x）=2ax²+ax+1-a，（x＞-1），
（1）当a=0时，g（x）=1，则f′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
则f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
因此，当a=0时，函数无极值点；
（2）当a＞0时，△=a²-8a（1-a）=a（9a-8）
①当0＜a≤$\frac{8}{9}$时，△≤0，g（x）≥0，则f′（x）≥0，
则f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
因此，当0＜a≤$\frac{8}{9}$时，函数无极值点；
②当a＞$\frac{8}{9}$时，△＞0，
设方程2ax²+ax+1-a=0的两个实根x₁，x₂，（x₁＜x₂）
∵x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，∴x₁＜-$\frac{1}{4}$，x₂＞-$\frac{1}{4}$
由g（-1）=1＞0，可得-1＜x₁＜-$\frac{1}{4}$，
则当x∈（-1，x₁）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x₁，x₂）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因此，当a＞$\frac{8}{9}$时，函数有两个极值点；
（3）当a＜0时，△＞0，
由g（-1）=1＞0，可得x₁＜-1，
则当x∈（-1，x₂）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x₂，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
因此，当a＜0时，函数有一个极值点；
综上所述，当a＜0时，函数有一个极值点；
当0≤a≤$\frac{8}{9}$时，函数无极值点；
当a＞$\frac{8}{9}$时，函数有两个极值点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题时要合理运用导数性质，注意分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．