Question

【题目】已知函数.

（1）判断的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；

（2）设，试讨论的零点个数情况.

Answer 1

【答案】（1）的图象是中心对称图形，对称中心为：；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点

【解析】

（1）设，通过奇偶性的定义可求得为奇函数，关于原点对称，从而可得的对称中心，得到结论；（2），可知为一个解，从而将问题转化为解的个数的讨论，即的解的个数；根据的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果.

（1） 设 定义域为：

为奇函数，图象关于对称

的图象是中心对称图形，对称中心为：

（2）令

，可知为其中一个解，即为一个零点

只需讨论的解的个数即可

①当时，无解

有且仅有一个零点

②当时 ， 为方程的解

有，共个零点

③当时，

（i）若，即时，

为方程的解

有，共个零点

（ii）若，即时，的解为：

有且仅有一个零点

（iii）若，即时，，方程无解

有且仅有一个零点

综上所述：当或时，有个零点；当时，有个零点