题目内容
【题目】已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－
(a∈R)，g (x)＝
x2＋ex－xex.
（1）当x∈[1，e] 时，求f (x)的最小值；
（2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）求出f（x）的定义域，求导数f′（x），得其极值点，按照极值点a在[1，e2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得其最小值；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，由（1）知f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，可得g（x）min，由 f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）
（a∈R），
当a≤1时，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；
当1＜a＜e2时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；
当a≥e2时，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，
所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）
；
综上，当a≤1时，f（x）min＝1﹣a；
当1＜a＜e2时，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；
当a≥e2时，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，
当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）为增函数，
∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）
g′（x）＝x+ex﹣xex﹣ex＝x（1﹣ex），
当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min＝g（0）＝1，
∴e﹣（a+1）
1，a
，
∴a∈（
，1）．
