Question

【题目】已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ，在坐标轴上，离心率为，且过点．

（1） 求双曲线的标准方程；

（2） 若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】分析：（1）由双曲线离心率为，设双曲线方程为，将点代入方程得，即可得到双曲线的标准方程．

（2）由（1）得双曲线的渐近线方程为，设点坐标为，得到向量的坐标，由，求得的值，即可得到结果．

详解：（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线，

∴设双曲线方程为，

将点代入方程得：，所以，

双曲线方程为：．

（2）因为等轴双曲线的渐近线方程为，

点在第一象限且是渐近线上的点，

∴设点坐标为，

∵等轴双曲线 ，所以，

不妨设 ），

所以，，

又因为，所以，

所以，

解得（舍去负值），

所以点的坐标为．