Question

【题目】已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）把点代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点的坐标，再由，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点．

（1）由题可得∴，所以椭圆的方程

（2）由题知，设，直线的斜率存在设为，

则与椭圆联立得

，，∴，，∴

若以为直径的圆经过点，

则，∴，

化简得，∴，解得或

因为与不重合，所以舍.

所以直线的方程为.