Question

【题目】对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．
（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为x1 ， x2 ， 且f（x1）+x2= ，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+3x+1，因为x0为不动点，

因此 ，所以x0=﹣1，

所以﹣1为f（x）的不动点

（2）解：因为f（x）恒有两个不动点，f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，

ax2+bx+（b﹣1）=0（※），

由题设b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，

即对于任意b∈R，b2﹣4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2﹣4（4a）＜0a2﹣a＜0，所以0＜a＜1

（3）解：因为 ，所以 ，

令t=a2∈（0，1），则 ， ，

∴2+ ＞3，可得b= ∈（0， ）

∴

【解析】（1）写出函数f（x）=x2+3x+1，利用不动点定义，列出方程求解即可．（2）f（x）恒有两个不动点，得到ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，通过b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，利用判别式得到不等式求解即可．（3）利用定义推出 ，通过换元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范围．