题目内容
【题目】四棱锥
中，底面
是中心为
的菱形，
，
．
（1）求证：
平面；
（2）若直线
与平面所成的角为
，求二面角
正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）由题意，
，又
，则
平面
，则
，又
，则
平面
；
（2）由题意，直线
与平面所成的角即为
，设菱形的边长为2，取的中点
，连接
，则
平面，以
为原点，
，
，所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．
（1）证明：因为底面是菱形，
故，又，且
平面，
，
∴平面，∵
平面，∴
又∵，
，
平面，
∴平面；
（2）解：由（1）知，平面，
故直线与平面所成的角即为，
设菱形的边长为2，由平面几何知识，
，
取的中点，连接，则平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
平面
的一个法向量为
，
平面
的一个法向量为
，
，
，
故所求二面角的正弦值为．
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【题目】在“应用
”的用户中随机抽取了100名用户进行调查得到如下数据：
每周使用时间 |
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男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 6 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 8 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
（1）在每周使用该“应用
”时间不超过
的样本中，按性别分层抽样，随机抽取5名用户：
①求抽取的5名用户中男，女用户各多少人；
②从这5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户均为男用户的概率.
（2）如果每周使用该“应用”超过的用户认为“喜欢该应用”，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“喜欢该应用”与性别有关.
参考公式：
，其中
下面的临界值表仅供参考：
| 0.10 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
