Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数． （Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；
（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；
（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数． ②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（Ⅱ）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），
∴Tax+T=ax ， 化为：TaTax=ax ， ∵ax＞0，∴TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，
∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．
【解析】（Ⅰ）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（Ⅱ）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）同（i）可以证明．（III）当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax ， 化为：TaT=1，即aT= ，此方程有非0 的实数根，即可证明．