Question

【题目】椭圆 =1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[ ， ]，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：已知椭圆 =1（a＞b＞0）焦点在x轴上， 椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1 ，
则：连接AF，AF1 ， AF，BF
所以：四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，
由椭圆的离心率e= = = ，
由α∈[ ， ]，
α+ ∈[ ， ]，
sin（α+ ）∈[ ，1]，
sin（α+ ）∈[ ， ]，
∈[ ， ]，
∴e∈[ ， ]，
故椭圆离心率的最大值 ．
故选A．