题目内容

13.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$.

分析 根据题意,记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件$\overline{A}$为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,先求得边长为4的等边三角形的面积,再计算事件$\overline{A}$构成的区域面积,由几何概型可得P($\overline{A}$),进而由对立事件的概率性质,可得答案.

解答 解:记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件$\overline{A}$为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,
边长为4的等边三角形的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×42=4$\sqrt{3}$,
则事件$\overline{A}$构成的区域面积为S($\overline{A}$)=3×$\frac{π}{3}$×$\frac{1}{2π}$×π×12=$\frac{π}{2}$,
由几何概型的概率公式得P($\overline{A}$)=$\frac{\frac{π}{2}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}π}{24}$;
P(A)=1-P($\overline{A}$)=1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$;
故答案为:1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$.

点评 本题考查几何概型,涉及对立事件的概率性质;解题的关键是计算此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1图形的面积.

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