Question

2．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AG}$=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$
• C． -$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$
• D． -$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 由题意画出图象，根据向量共线、向量的线性运算表示出$\overrightarrow{AG}$，列出方程组即可求出答案．

解答 解：由题意画出图象：
∵A、G、F三点共线，
∴$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AF}$=$λ（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}）$=$λ（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$λ（\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}）$，
同理可得，$\overrightarrow{DG}=μ\overrightarrow{DE}$=$μ（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}）$=$μ（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$=$μ（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$，
∵$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{b}$+$μ（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{b}+$$μ（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$=$λ（\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{2}μ=λ}\\{μ=\frac{1}{2}λ}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{4}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{4}{5}\overrightarrow{b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{a}$，
故选：B．

点评 本题考查向量的线性运算，以及向量共线的条件，属于中档题．