题目内容

18.已知函数f(x)=x2+ax+1,a为实数.
(1)解不等式f(x)>0,
(2)当x>0时,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

分析 (1)根据判别式分类讨论求出不等式的解集,
(2)分离参数,根据基本不等式即可求出a的取值范围.

解答 解:(1)△=a2-4,
①当△>0,即a>2或a<-2时,不等式的解集为(-∞,$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$)∪($\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$,+∞),
②当△=0,即a=2或-2时,
当a=2时,不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞);
当a=-2时,不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
③当△<0,即当-2<a<2时,解集为R.
综上,①当a>2或a<-2时,不等式的解集为(-∞,$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$)∪($\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$,+∞);
②当a=2时,不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞);
③当a=-2时,不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
④当-2<a<2时,解集为R.
(2)当x>0时,由x2+ax+1≥0得a≥-(x+$\frac{1}{x}$)=-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2,当且仅当x=1时取等号.
故a的取值范围为[-2,+∞)

点评 本题考查了一元二次不等式的解法和基本不等式的应用,属于中档题.

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