Question

【题目】已知椭圆的离心率为，动直线与椭圆交于点，与轴交于点.为坐标原点，是中点.

（1）若，求的面积；

（2）若试探究是否存在常数，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在；

【解析】

（1）利用椭圆的几何性质，求得椭圆的方程，当时，直线的方程为，联立方程，求得的坐标，结合面积公式，即可求解；

（2）设，，联立求得，，再利用向量的数量积的运算公式，化简，得到常数时，得出定值，得到结论.

（1）由题意，椭圆的离心率为，

所以，解得，

所以椭圆的方程为，

当时，直线的方程为，即，

设，，

联立消去，整理得，解得，，

可得，，

所以的面积为.

（2）设，，则，，

联立得，

其判别式，所以，，

从而

，

所以当时，，

即为定值，

故存在常数，使得为定值.