Question

5．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意数形结合可得B为AP中点，OB∥AF．设BF=m，则OB=m．作BE⊥OF，则垂足E为OF的中点，设BE=n，
则由m²-n²=$\frac{1}{4}$，m=1+$\sqrt{{m}^{2}{-n}^{2}}$，求得m、n的值，可得k=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{2}}$ 的值．

解答 解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线C：
y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．
又直线y=k（x+1）过定点P（-1，0），
因为|FA|=2|FB|，所以B为AP中点，
连接OB，所以OB∥AF．
设BF=m，所以，OB=m．
作BE⊥OF，则垂足E为OF的中点，设BE=n，
则m²-n²=$\frac{1}{4}$，m=1+$\sqrt{{m}^{2}{-n}^{2}}$，求得m=$\frac{3}{2}$、n=$\sqrt{2}$，所以k=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要抛物线的定义、性质、标准方程的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．