题目内容
7.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),?x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(6-m)-f(m)-18+6m≥0,则实数m的取值范围为( )A. | [-3,3] | B. | [3,+∞) | C. | [2,+∞) | D. | (-∞,-2]∪[2,+∞) |
分析 令g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2,根据已知条件得到g(x)的单调性,从而得到关于m的不等式,解出即可.
解答 解:令g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2,
∵g(x)+g(-x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2+f(-x)-$\frac{1}{2}$x2=0,
∴函数g(x)为奇函数
∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)-x<0,
函数g(x)在x∈(0,+∞)为减函数,
又由题可知,f(0)=0,g(0)=0,
所以函数g(x)在R上为减函数
∴f(6-m)-f(m)-18+6m
=f(6-m)+$\frac{1}{2}$(6-m)2-f(m)-$\frac{1}{2}$m2-18+6m≥0,
即g(6-m)-g(m)≥0,
∴g(6-m)≥g(m),
∴6-m≤m,
∴m≥3.
点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性,考查导数的应用,构造函数g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2,判断出g(x)的单调性是解答本题的关键,本题是一道中档题.
练习册系列答案
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A. | 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度,且甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐 | |
B. | 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度,但乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐 | |
C. | 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度,且乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐 | |
D. | 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度,但甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐 |
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