Question

3．已知函数y=f（x）x∈R 有下列4个命题：
①若f（1+x）=f（1-x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
②若f（3+x）+f（1-x）=4，则f（x）的图象关于点（2，2）对称；
③若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；
④若f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题为①②③④．

Answer 1

分析 利用奇偶函数的定义和性质，得f（-x）与f（x）的关系，再利用函数图象关于直线x=a对称的条件f（2a-x）=f（x）分别进行判断即可．

解答 解：①若f（1+x）=f（1-x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；故①正确，
②∵f（3+x）+f（1-x）=4，
∴f（2+x）+f（2-x）=4，
即$\frac{f（2+x）+f（2-x）}{2}=2$，即f（x）的图象关于点（2，2）对称；故②正确，
③∵f（2+x）=-f（x），
∴f（2-x）=-f（-x）=f（2+x），∴f（x）的图象自身关于直线x=2对称，故③正确，
④∵f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2）
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（x）的图象自身关于直线x=1对称，故④正确，
综上正确的命题是①②③④，
故答案为：①②③④

点评 本题主要考查了奇偶函数的定义和图象的对称性，同时考查了学生综合应用条件的能力，是个中档题．