题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,点,,分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2),是椭圆上的两个动点,若直线与直线的斜率之和为,证明,直线恒过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)由题意可列出方程组,解出,即可得椭圆方程;
(2)设直线方程为,联立,利用韦达定理和直线斜率公式,列式化简,即可得出答案.
(1)由题意得①,
又∵②,
且③,
由①②③可得,,,
∴椭圆的方程为.
(2)设,,
若,则直线与直线的斜率之和等于,与题意不符,
∴可设直线方程为,
由,消去,可得,
∴,
化简得,
由韦达定理可得,,
又由题意可得,即,
∴,
即,
化简可得,∴或,
当时,直线的方程为,恒过定点,
经检验,不合题意,舍去;
当时,直线的方程为,恒过定点.
综上所述,直线恒过定点.
练习册系列答案
相关题目