题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,点分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且

1)求椭圆的方程;

2是椭圆上的两个动点,若直线与直线的斜率之和为,证明,直线恒过定点.

【答案】1;(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意可列出方程组,解出,即可得椭圆方程;

(2)设直线方程为,联立,利用韦达定理和直线斜率公式,列式化简,即可得出答案.

(1)由题意得,

又∵,

,

由①②③可得,,,

∴椭圆的方程为.

(2),,

,则直线与直线的斜率之和等于,与题意不符,

∴可设直线方程为,

,消去,可得,

,

化简得,

由韦达定理可得,,

又由题意可得,,

,

,

化简可得,,

,直线的方程为,恒过定点,

经检验,不合题意,舍去;

,直线的方程为,恒过定点.

综上所述,直线恒过定点.

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