Question

【题目】已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴，轴分别交于点，，当（为坐标原点）的面积最小时，（，为椭圆的两个焦点），则此时中的平分线的长度为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用直线与椭圆相切可求得直线的方程为,从而得到,结合基本不等式即可求出面积最小时的取值情况,再利用余弦定理和面积公式即可求出结论.

由题可知,直线的斜率一定存在,故可设直线的方程为,

联立,

又直线与椭圆相切,所以,

即①,

又直线过点,即有②,

且在椭圆上,即有③,

由①②③可得,

因此直线的方程为,

∴,,

∴,

∵,

∴,∴,

当且仅当时等号成立,此时面积最小,

设,,则,

由余弦定理,可知,

∴,,

又,即,

∴,∴,即,

设在中,的平分线长度为,

则,

∴,

故选:B.