Question

【题目】已知点是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或.

【解析】

（1）利用面积最大值为，可得，结合及的关系可得椭圆的标准方程；

（2）设出直线方程，利用韦达定理及面积公式，建立方程，可得直线方程.

（1）由题可知当点在短轴端点时，面积最大值为①，

此时，，所以②，

又知③，由上述3个式子解得，，.

所以椭圆C的标准方程为.

（2）存在，由（1），由题意可知直线与轴不重合，所以设：，

与椭圆方程联立得，

则，，，

则，

，解得，

即直线方程为或.