Question

【题目】如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）依题意可得，由面面垂直的性质可得平面，从而得到，再证，即可得到平面，从而得证；

（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；

解：（1）依题意知，因为，所以，

当平面平面时，

平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

由已知，是等边三角形，且为的中点，

所以，，所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

，

设平面的一个法向量，平面的一个法向量

由得；令，解得，，

所以，

由得；令，解得，，

所以，

.

易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.