题目内容
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦 点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程.
(2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
分析 (1)利用抛物线的定义,求出p,即可求抛物线方程.
(2)分类讨论,结合圆心M(0,2)到直线AK的距离,即可讨论直线AK与圆M的位置关系.
解答 解:(1)因为A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,
所以4+$\frac{p}{2}$=5,
所以p=2,
所以抛物线方程为:y2=4x…(2分)
(2)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2.
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,…(10分)
当m≠4时,直线AK的方程为$y=\frac{4}{4-m}(x-m)$即为4x-(4-m)y-4m=0
圆心M(0,2)到直线AK的距离$d=\frac{{\left|{2m+8\left.{\;}\right|}\right.}}{{\sqrt{16+{{(m-4)}^2}}}}$,令d>2,得m>1…(12分)
故当m>1时,直线AK与圆M相离;当m=1时,直线AK与圆M相切;当m<1时,直线AK与圆M相交.…(14分)
点评 本题考查抛物线的定义,考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力.
练习册系列答案
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