Question

7．已知函数f（x）=e^xcosx，记f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x）），f₃（x）=f′₂（x）），…，则f_n+1（x）=f′_n（x）（n∈N₊），则f₂₀₁₅（x）等于（　　）

• A． 2¹⁰⁰⁷e^xsinx
• B． -2¹⁰⁰⁸e^xcosx
• C． 2¹⁰⁰⁶e^x（sinx-cosx）
• D． 2¹⁰⁰⁷e^x（sinx+cosx）

Answer 1

分析 求出函数的导数，计算导数的规律性，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=e^xcosx，
（e^x）′=e^x，（e^x）^″=e^x，…，（e^x）^（n）=e^x，表示e^x的n次导数．
cos′x=-sinx，cos^″x=-cosx，…，cos^（n）x=$cos（x+\frac{nπ}{2}）$．
∴f₁（x）=f′（x）=e^x（cosx-sinx），
f₂（x）=f₁′（x）=cosxe^x-sinxe^x-sinxe^x-cosxe^x=-2e^xsinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-2e^x（cosx+sinx），
f₄（x）=${f}_{3}^{′}$（x）=-2²e^xcosx，
f₅（x）=${f}_{4}^{′}（x）$=-2²e^x（cosx-sinx），
f₆（x）=${f}_{5}^{′}（x）$=2³e^xsinx．
…
当n=2015时，f₂₀₁₅（x）=f₂₀₁₄′（x）=2¹⁰⁰⁷e^xsinx．
故选：A．

点评 本题主要考查导数的计算，根据导数的公式，得到导数的规律是解决本题的关键，属于中档题．