如图.给定两个平面向量$\overrightarrow{{O}{A}}$和$\overrightarrow{{O}{B}}$.它们的夹角为120°.点C在以O为圆心的圆弧AB上.且$\overrightarrow{{O}C}=x\overrightarrow{{O}{A}}+y\overrightarrow{{O}{B}}$.则满足y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，给定两个平面向量$\overrightarrow{{O}{A}}$和$\overrightarrow{{O}{B}}$，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且$\overrightarrow{{O}C}=x\overrightarrow{{O}{A}}+y\overrightarrow{{O}{B}}$（其中x，y∈R），则满足y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的概率为（　　）

A．

$\frac{π}{4}$

B．

$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{4}$

分析根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$得x，y的值，从而求得y-x的表达式，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答解：建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设∠AOC=α，则$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（-$\frac{1}{2}y$，$\frac{\sqrt{3}}{2}y$）=（cosα，sinα）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}y}{2}=sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα}\\{y=\frac{2sinα}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$，
∴y-x=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$-cosα=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$-cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α-60°）．
∵0°≤α≤120°．
∴-60°≤α-60°≤60°．
当y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α-60°）≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
则sin（α-60°）≥$\frac{1}{2}$，
∴30°≤α-60°≤60°，
即90°≤α≤120°，
∴满足y-x≥$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的概率P=$\frac{120°-90°}{120°}$=$\frac{30}{120}$=$\frac{1}{4}$，
故选：D