题目内容
【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为
(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为(2
,
).
(Ⅰ)求直线l以及曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求△PAB的面积.
【答案】解:(Ⅰ)∵直线l的参数方程为 (t为参数),
消去参数t,得到直线l的普通方程为y= ,
∴ ,∴
,
∴直线l的极坐标方程为 (ρ∈R),
∵曲线C的参数方程为 (θ为参数),
∴曲线C的普通方程为:(x﹣1)2+(y﹣2 )2=4,
则(ρcosθ﹣1)2+( )2=4,
则曲线C的极坐标方程为 .
(Ⅱ)由 ,
得到ρ2﹣7ρ+9=0,设其两根为ρ1,ρ2,
则ρ1+ρ2=7,ρ1ρ2=9,
∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|= =
,
∵点P的极坐标为( ),∴|OP|=2
,
,
∴△PAB的面积:S△PAB=|S△POB﹣S△POA|= =
【解析】(Ⅰ)直线l的参数方程消去参数t,得到直线l的普通方程为y= ,由此能求出直线l的极坐标方程;曲线C的参数方程消去参数θ,得曲线C的普通方程,由此能求出曲线C的极坐标方程.(Ⅱ)由
,得到ρ2﹣7ρ+9=0,由韦达定理、弦长公式求出|AB|,△PAB的面积S△PAB=|S△POB﹣S△POA|,由此能求出结果.
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