Question

【题目】函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
其中正确命题的序号为 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ，

对于①，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；故①不错；

对于②，F（x）= ═F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确，

对于③，∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|

∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确；

对于④，∴x＞0时，F（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，

故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数，∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点

故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，

所以答案是：②③④

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．