Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为${A_1}（{-\sqrt{2}，0}），{A_2}（{\sqrt{2}，0}）$，若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M，使得∠F₁MF₂=90°．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点．若$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{QT}$=0时，PQ取得最大值为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的左，右顶点求出a²，通过圆O与直线3x+4y+5=0相切，求出c，得到b²，然后求解椭圆C的标准方程．
（2）设P（x₀，y₀），得到$\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$，设出圆T的方程，利用$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{QT}=0$，推出PQ²=PT²-QT²=${x_0}^2+{（{{y_0}-t}）^2}-（{{t^2}+1}）$，通过①t≥1，②0＜t＜1，分别求解最大值，得到t的值．

解答 （1）因为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$左，右顶点分别为${A_1}（{-\sqrt{2}，0}），{A_2}（{\sqrt{2}，0}）$，
所以a²=2． …（1分）
又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M，使得∠F₁MF₂=90°，
即以原点O为圆心，半径为r=OF₁=c作圆O，使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可．
又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离$d=\frac{{|{3×0+4×0+5}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=1$，…（3分）
所以 c=1，b²=a²-c²=1，…（5分）
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$； …（6分）
（2）设P（x₀，y₀），因为点P在椭圆上，所以有$\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$，…（7分）
因为圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．
所以圆T的方程为x²+（y-t）²=t²+1，（t＞0），…（8分）
由$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{QT}=0$得PQ²=PT²-QT²=${x_0}^2+{（{{y_0}-t}）^2}-（{{t^2}+1}）$，
又$\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$，所以$P{Q^2}=-{（{{y_0}+t}）^2}+{t^2}+1$，…（10分）
①当-t≤-1即t≥1时，当y₀=-1时，PQ取得最大值$\sqrt{2t}$，
因为PQ的最大值为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，所以$\sqrt{2t}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，解得$t=\frac{5}{8}$，又t≥1，故舍去．…（12分）
②当-t＞-1即0＜t＜1时，当y₀=-t时，PQ取最大值$\sqrt{{t^2}+1}$，
所以$\sqrt{{t^2}+1}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，解得${t^2}=\frac{1}{4}$，又0＜t＜1，所以$t=\frac{1}{2}$．…（14分）
综上，当$t=\frac{1}{2}$时，PQ的最大值为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆与直线以及圆的方程的综合应用，考查分类讨论转化思想的应用，考查计算能力．