题目内容

【题目】已知函数fx)=x2+2﹣alnxbxa>0).

Ⅰ)若a=1,b=3,求函数yfx)在(1,f(1))处的切线方程;

Ⅱ)若fx1)=fx2)=0,且x1x2,证明:f′()>0.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)求fx)的导数,可得切线的斜率,以及切点,由点斜式方程可得切线方程;

(Ⅱ)由函数零点定义,两方程相减可得两个零点之间的关系,用变量集中的方法,把两个零点集中为一个变量,求导数,判断单调性,即可得证..

解:()若a=1,b=3,fx)=x2+2﹣lnx﹣3x

导数为f′(x)=2x﹣3,

可得在x=1处切线的斜率为﹣2,

f(1)=0,可得切线方程为y=﹣2(x﹣1),

即为2x+y﹣2=0;

(Ⅱ)证明:若fx1)=fx2)=0,且x1x2

可得x12+2﹣alnx1bx1=0,x22+2﹣alnx2bx2=0,

两式相减可得(x1x2)(x1+x2)﹣alnx1lnx2)﹣bx1x2)=0,

即有x1+x2ba

可设x0

f′(x0)=2x0b=(x1+x2b)﹣

a

[ln]

[ln],

tt>1,可得f′(x0)=[lnt],

ut)=lntt>1,

导数为u′(t)=>0,

可得ut)在t>1递增,且u(1)=0,

可得ut)>u(1)=0,

lnt>0,

a>0,x2x1>0,可得f′(x0)>0,

综上可得f′()>0.

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