题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+2﹣alnx﹣bx(a>0).
(Ⅰ)若a=1,b=3,求函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,证明:f′()>0.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求f(x)的导数,可得切线的斜率,以及切点,由点斜式方程可得切线方程;
(Ⅱ)由函数零点定义,两方程相减可得两个零点之间的关系,用变量集中的方法,把两个零点集中为一个变量,求导数,判断单调性,即可得证..
解:(Ⅰ)若a=1,b=3,f(x)=x2+2﹣lnx﹣3x,
导数为f′(x)=2x﹣﹣3,
可得在x=1处切线的斜率为﹣2,
f(1)=0,可得切线方程为y=﹣2(x﹣1),
即为2x+y﹣2=0;
(Ⅱ)证明:若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,
可得x12+2﹣alnx1﹣bx1=0,x22+2﹣alnx2﹣bx2=0,
两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)﹣a(lnx1﹣lnx2)﹣b(x1﹣x2)=0,
即有x1+x2﹣b=a,
可设x0=,
由f′(x0)=2x0﹣﹣b=(x1+x2﹣b)﹣
=a﹣
=[ln﹣]
=[ln﹣],
令t=,t>1,可得f′(x0)=[lnt﹣],
设u(t)=lnt﹣,t>1,
导数为u′(t)=﹣=>0,
可得u(t)在t>1递增,且u(1)=0,
可得u(t)>u(1)=0,
即lnt﹣>0,
又a>0,x2﹣x1>0,可得f′(x0)>0,
综上可得f′()>0.
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