Question

10．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0是直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交的（　　）条件．

• A． 充要
• B． 充分不必要
• C． 必要不充分
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根据充分必要条件的定义结合向量的运算性质以及直线和圆的位置关系进行判断．

解答 解：△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，
则cosC＞0，故∠C是锐角，
∴c²＜a²+b²，即c＜$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$＜1，
直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交，
是充分条件，
若直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$＜1，
∴c＜$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即c²＜a²+b²，
故∠C是锐角，cosC＞0，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，是必要条件，
故选：A．

点评 本题考查了充分必要条件，考查向量的运算性质，三角形的边角关系，直线和圆的位置关系，是一道中档题．