Question

4．已知点（x，y）是圆x²+y²-4x-4y+6=0上的任意一点，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

分析 圆x²+y²-4x-4y+6=0，可化为（x-2）²+（y-2）²=2，设x=2+$\sqrt{2}$cosθ，y=2+$\sqrt{2}$sinθ，则xy=（2+$\sqrt{2}$cosθ）（2+$\sqrt{2}$sinθ）=4+2$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．设t=cosθ+sinθ，则t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得xy=3+2$\sqrt{2}$t+t²=（t-$\sqrt{2}$）²+1，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：圆x²+y²-4x-4y+6=0，可化为（x-2）²+（y-2）²=2，设x=2+$\sqrt{2}$cosθ，y=2+$\sqrt{2}$sinθ，
则xy=（2+$\sqrt{2}$cosθ）（2+$\sqrt{2}$sinθ）=4+2$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．
设t=cosθ+sinθ，则t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），∴t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
t²=1+2cosθsinθ，从而2cosθsinθ=t²-1．
∴xy=3+2$\sqrt{2}$t+t²=（t-$\sqrt{2}$）²+1．
当t=-$\sqrt{2}$时，xy取得最小值1；当t=$\sqrt{2}$时，xy取得最大值9．

点评 本题考查了圆的方程、三角函数代换、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．