题目内容
【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:=1(a>b>0)的离心率为
,且过点
,点P在第四象限, A为左顶点, B为上顶点, PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 求 △PCD 面积的最大值.
【答案】(1)+y2=1;(2)
-1
【解析】
(1)由离心率,再把点
坐标代入
=1,结合
可求得
,得椭圆标准方程;
(2)设直线方程为
,可求得
的坐标,由
共线求得
点坐标,这样可求得
,令
换元后用基本不等式求得最大值.
(1) 由题意得:得a2=4,b2=1,
故椭圆C的标准方程为:+y2=1.
(2) 由题意设lAP:y=k(x+2),- <k<0,所以C(0,2k),
由消y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以xAxP=
,
由xA=-2得xP=,故yP=k(xP+2)=
,
所以P,
设D(x0,0),因B(0,1),P,B,D三点共,所以kBD=kPB,故=
,
解得x0=,得D
,
所以S△PCD=SPAD-S△CAD=×AD×|yP-yC|
==
,
因为-<k<0,所以S△PCD=
=-2+2×
,
令t=1-2k,1<t<2,所以2k=1-t,
所以g(t)=-2+=-2+
=-2+≤-2+
=
-1,
当且仅当t=时取等号,此时k=
,所以△PCD面积的最大值为
-1.
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