Question

【题目】从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）求这件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值）的定价为元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元。若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求.

附：.若，则 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均数200,方差；（Ⅱ）（i）0.95；(ii)280.

【解析】

（Ⅰ）根据图中的数据及平均数、方差的定义可得所求．（Ⅱ）(i)根据正态分布中特殊区间上的概率求解；(ii)先由正态分布得到，然后再根据均值的线性性质求解即可．

（Ⅰ）由题意得

．

∴ ，

即样本平均数为，样本方差为．

（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）可知，，，

∴,

∴，

(ii)设表示100件产品的正品数，由题意得

∴，

∴．