题目内容
4.已知实数x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≤x}\\{2x+y-9≤0}\end{array}\right.$时,所表示的平面区域为D,则z=x+3y的最大值等于12,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则a的取值范围是a$≤\frac{3}{4}$.分析 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案;再由直线y=a(x+1)过定点(-1,0),结合图象求得a的取值范围.
解答 解:由约束条件作出可行域如图,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$,解得A(3,3),
化目标函数z=x+3y为$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$,
由图可知,当直线$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$过A(3,3)时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为12;
∵直线y=a(x+1)过定点(-1,0),要使直线y=a(x+1)与区域D有公共点,
则a≤kMA=$\frac{3-0}{3-(-1)}=\frac{3}{4}$.
故答案为:12;$a≤\frac{3}{4}$.
点评 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
练习册系列答案
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A. | ${0.2^α}>{(\frac{1}{2})^α}>{2^α}$ | B. | ${2^α}>{0.2^α}>{(\frac{1}{2})^α}$ | C. | ${(\frac{1}{2})^α}>{0.2^α}>{2^α}$ | D. | ${2^α}>{(\frac{1}{2})^α}>{0.2^α}$ |
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C. | 若a3>0,则a2015>0 | D. | 若a4>0,则a2015>0 |