Question

16．已知函数f（x）=|x+1|+ax，（a∈R）．
（1）当a=0，2时，分别画出函数f（x）的图象．
（2）若函数f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数解析式写出分段函数，然后作图；
（2）将函数解析式写出分段函数后，令每一段上均为单调减函数函数，且第一段最小值大于或大于第二段的最大值，或每一段上均为增函数，且第一段上最大值小于或等于第二段的最小值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥-1}\\{-x-1，x＜-1}\end{array}\right.$
作出函数图象如图：

当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥-1}\\{x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函数图象如图：

（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1+a）x+1，x≥-1}\\{（-1+a）x-1，x＜-1}\end{array}\right.$．
①若f（x）是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{1+a＞0}\\{-1+a＞0}\\{-（1+a）+1≤-（-1+a）-1}\end{array}\right.$，
解得a＞1．
②若f（x）是减函数，则$\left\{\begin{array}{l}{1+a＜0}\\{-1+a＜0}\\{-（1+a）+1≥-（-1+a）-1}\end{array}\right.$，
解得a＜-1．
综上所述：实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的图象和单调性，是中档题．